高斯公式与斯托克斯公式

高斯公式

条件仅为：分片光滑曲面上的一阶连续偏导数

高斯公式的证明

高斯公式其实是三式之和

构造xy型区域(对于非xy型可切分成若干xy型)

积分区域x,y逆换成有向曲面S，z(x,y)逆换成z

证明高斯定理

点电荷q产生的静电场，通过任意包含q的闭合曲面的电通量为4*pi*q^2

对于包含Q的封闭球面，计算出电通量 4*pi*q

利用电通量的定义证曲面形状任意性，可证包含球面的其它封闭曲面的电通量等于小的球面

斯托克斯公式

空间曲线L与有向曲面S满足右手法则。 分割曲面S使每一部分都能有 z=z(x,y)

方向余弦与正侧法线方向数的关系

多元复合函数的偏导数

方向余弦与曲面乘积得对应坐标面投影曲面

斯托克斯公式和高斯公式一样是三式之和

记忆

例题

区域V按曲面单连通

空间曲线积分的路径无关性

空间曲线积分与路径无关

验证无关，构造平行坐标轴的有向路径

积分路径的起点任意，可得通解

参考

https://wenku.baidu.com/view/dd0db91a6bd97f192279e903.html

https://wenku.baidu.com/view/7f9ab0e69b89680203d82500.html